目录 函数 hán shù 函数 。这种关系一般用y=f(x)来表示。 彼此相关的两个量之一,他们的关系是一个量的诸值与另外一个量的诸值相对应 称因变数。数学名词。在互相关联的两个数中，如甲数变化，乙数亦随甲数的变化而变化，则乙数称为甲数的函数 。如某种布每尺价格一定，则买的尺数越多，应付金额也越多。应付的金额即尺数的函数 。 在数学领域，函数 是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
函数 一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
函数 两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。
函数 的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
函数 。精确地说，设x是一个不空集合，y是某个实数集合 ，f是个规则 ， 若对x中的每个x，按规则f，有y中的一个y与之对应 ， 就称f是x上的一个函数 ，记作y＝f（x），称x为函数 f（x）的定义域，y为其值域，x叫做自变量，y为x的函数 。
函数 关系。当然 ，把y改为y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数 关系。
函数 ，定义域为［0，b］。以上3例展示了函数 的三种表示法：公式法 ， 表格法和图像法。 有3个变量，y是u的函数 ，y＝ψ（u），u是x的函数 ，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数 ：
函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数 。 就关系而言，一般是双向的 ，函数 也如此 ，设y＝f（x）为已知的函数 ，若对每个y∈y，有唯一的x∈x，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x＝f -1（y）。称f -1为f的反函数 。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数 仍记为y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数 。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称。 若能由函数 方程 f（x，y）＝0 确定y为x的函数 y＝f（x），即f（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数 。 设点（x1，x2，…，xn） ∈gírn，uír1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈g，由某规则f有唯一的 u∈u与之对应：f：g→u，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数 ，g为定义域，u为值域。
函数 及其图像 幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 、反三角函数 称为基本初等函数 。
函数 ：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α为整数)，当α是奇数时为（ －∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数 进行讨论。略图如图2、图3。
函数 ：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －∞，＋∞），值域为（0 ，＋∞），a＞0 时是严格单调增加的函数 （ 即当x2＞x1时，） ，0＜a＜1 时是严格单减函数 。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。如图4。
函数 ：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞） 。a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数 的图形均过点（1，0），对数函数 与指数函数 互为反函数 。如图5。
函数 ：见表2。
函数 、余弦函数 如图6，图7所示。
函数 ：见表3。双曲正、余弦如图8。
函数 ：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
函数 是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数 f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数 的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
函数 ，映射，对应，变换通常都是同一个意思。 i.定义与定义表达式
函数 。
函数 表达式的右边通常为二次三项式。
函数 的三种表达式
函数 的图象
函数 y=x²的图象，
函数 的图象是一条抛物线。
函数 与一元二次方程
函数 （以下称函数 ）y=ax²+bx+c，
函数 为关于x的一元二次方程（以下称方程），
函数 图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数 与x轴交点的横坐标即为方程的根。 i、定义与定义式：
函数 。
函数 。
函数 的性质：
函数 的图象及性质：
函数 的图象——一条直线。因此，作一次函数 的图象只需知道2点，并连成直线即可。
函数 上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b。
函数 图象所在象限。
函数 的图象。
函数 的表达式：
函数 的表达式。
函数 的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
函数 上的任意一点p（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：
函数 的表达式。
函数 在生活中的应用
函数 。s=vt。
函数 。设水池中原有水量s。g=s-ft。
函数
函数 ，叫做反比例函数 。
函数 的图像为双曲线。
函数 图像。 三角函数 是数学中属于初等函数 中的超越函数 的一类函数 。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数 是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
函数 的周期性，它并不具有单值函数 意义上的反函数 。
函数 在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数 也是常用的工具。
函数 ：
函数 名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
函数 sin（a）=a/h
函数 cos（a）=b/h
函数 tan（a）=a/b
函数 cot（a）=b/a
函数 。这种关系一般用y=f(x)来表示。 1.早期函数 概念——几何观念下的函数
函数 或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数 的关系。1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数 概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数 的一般意义，大部分函数 是被当作曲线来研究的。
函数 ）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
函数 概念──代数观念下的函数
函数 概念的基础上对函数 概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数 ，并强调函数 要用公式来表示。
函数 定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数 。”
函数 是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰•贝努利给出的函数 定义称为解析函数 ，并进一步把它区分为代数函数 和超越函数 ，还考虑了“随意函数 ”。不难看出，欧拉给出的函数 定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
函数 概念──对应关系下的函数
函数 。”同时指出对函数 来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数 关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
函数 概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数 。”这个定义避免了函数 定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数 定义。
函数 定义，通过集合概念把函数 的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
函数 概念──集合论下的函数
函数 ，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
函数 定义为“若对集合m的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合m上定义一个函数 ，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
函数 ，映射，对应，变换通常都有同一个意思。
函数 只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数 包含于映射。
函数 :
函数 y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
函数 y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
函数 ”名称的由来
函数 ”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数 ”；这里的“函”是包含的意思。）
函数
函数 时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。
函数
函数 图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为9600－3600=6000（米）。
函数 解析式及自变量的取值范围。
函数 表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变量的取值范围。
函数 为
函数 概念
函数 是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数 及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数 的概念对今后的学习非常有用。回顾函数 概念的发展史，“函数 ”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数 这一概念，但其含义与现在对函数 的理解大不相同。现代初中数学课程中，函数 定义采用的是“变量说”。即：
函数 ，x称为自变量，y称为因变量。
函数 可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。
函数 概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数 概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数 定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：
函数 是函数 不是函数
函数 的概念：
函数 吗？
函数 的定义，所以弹簧的长度y是拉力f的函数 。一般地，以表格形式给出的函数 ，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。
函数 吗？
函数 。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。一般地，以图象形式给出的函数 ，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
函数 关系？说明理由。
函数 关系。
函数 关系。
函数 关系。
函数 ，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。
函数 关系的是（ ）
函数 关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是b图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选b。
幂函数 的一般形式为y=x^a。
函数 的定义域是r，如果q是偶数，函数 的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数 的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
函数 的定义域的不同情况如下：
函数 的定义域为大于0的所有实数；
函数 的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数 的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数 的定义域为不等于0 的所有实数。
函数 的值域总是大于0的实数。
函数 的值域为非零的实数。
函数 的值域。
函数 在第一象限的各自情况.
函数 为单调递增的，而a小于0时，幂函数 为单调递减函数 。
函数 图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数 图形上凸。
函数 过（0，0）；a小于0，函数 不过（0，0）点。
函数 无界。 设x∈r ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（guass）函数 ，也叫取整函数 。
在数学意义上，一个函数 （function）表示每个输入值对应唯一输出值。函数 f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数 所有的输入值的集合被称作这个函数 的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。
函数 f，其中每个输入值f都与唯一输出值x相联系。因此，如果一个输入值为3，那么它所对应的输出值为9。一旦一个函数 f被定义，例如，就可以被写为f(4) = 16。
函数 一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
函数 ):随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数 )有且只有唯一一值与其相对应.
函数 两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。
函数 的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
函数 的定义： 设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有且仅有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数 ，记作 y=f(x).
函数 的定义域，由函数 对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数 值的全体称为函数 的值域，对应法则和定义域是函数 的两个要素。
函数 。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数 ，记作y＝f（x），称X为函数 f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数 。
函数 为：定义在非空数集之间的映射称为函数 。
函数 关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数 关系。
函数 ，定义域为［0，b］。以上3示法：公式法 ，表格法和图像法。
函数 。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量。
函数 <IMG src="http://t10.baidu.7021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
函数 ，y＝ψ（u），u是x的函数 ，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的
函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数 。 一般地，设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数 中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数 ，这样的函数 x= f(y)(y∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数 ，记作x=f^-1(y). 反函数 y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域.
函数 x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数 ，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数 ，为此我们常常对调函数 x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数 y=f(x)的反函数 都采用这种经过改写的形式.
函数 也是函数 ，因为它符合函数 的定义. 从反函数 的定义可知，对于任意一个函数 y=f(x)来说，不一定有反函数 ，若函数 y=f(x)有反函数 y=f^-1(x)，那么函数 y=f^-1(x)的反函数 就是y=f(x)，这就是说，函数 y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数 .
函数 y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数 y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数 y=f(x)的定义域正好是它的反函数 y=f^-1(x)的值域；函数 y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f^-1(x)的定义域（如下表）：
函数 y=f(x) 反函数 y=f^-1(x)
函数 y=f(x)的映射f是函数 的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数 x=f^-1(x)就叫做函数 y=f(x)的反函数 . 反函数 x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域.
函数 就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数 为：f^-1(x)=x/2-3.
函数 需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数 的反函数 的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
函数 的应用：
函数 的值域困难时，可以通过求其原函数 的定义域来确定原函数 的值域，求反函数 的步骤是这样的
函数 的值域，因为原函数 的值域就是反函数 的定义域
函数 的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数 的定义域是球反函数 的第一步）
函数 及其定义域
函数 也如此 ，设y＝f（x）为已知的函数 ，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x＝f -1（y）。则f -1为f的反函数 。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数 仍记为y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数 。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称。 若能由方程 F（x，y）＝0 确定y为x的函数 y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数 。
函数 。
函数 是否为函数 ？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一” 。 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
函数 的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
函数 。
函数 表达式的右边通常为二次三项式。
函数
函数 的三种表达式
函数 y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
函数 的图像
函数 y=x^2的图像，
函数 可以看出，二次函数 的图像是一条抛物线。
函数 标准画法步骤
函数 在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数 ，在{x|x>-b/2a}上是增函数 ；抛物线的开口向上；函数 的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
函数 是偶函数 ，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
函数 与一元二次方程
函数 （以下称函数 ）y=ax^2+bx+c，
函数 为关于x的一元二次方程（以下称方程），
函数 图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数 与x轴交点的横坐标即为方程的根。
函数 y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
函数 的解析式
函数 知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数 知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现． 三角函数 是数学中属于初等函数 中的超越函数 的一类函数 。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数 是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
函数 的周期性，它并不具有单值函数 意义上的反函数 。
函数 在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数 也是常用的工具。
函数 ：
函数 名： 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
函数 sin（A）=a/h
函数 cos（A）=b/h
函数 tan（A）=a/b
函数 cot（A）=b/a
函数 。这种关系一般用y=f(x)来表示。
函数 解析式的求法
函数 解析式，是初中代数的一个重要内容，下面介绍函数 中最基本的函数 ??一次函数 几种常见的解法。
函数 解析式的基本方法，其一般步骤为，首先设出所求函数 解析式，再根据题设条件列出相应的方程（组），最后将所求待定系数的值代入所设的函数 解析式即可。
函数 的图象经过点A（2，-1）和B，点B是另一条直线与y轴的交点，求这个函数 的解析式。
函数 的解析式为y=kx+b，则由题意得交点B的坐标为（0，3），
函数 的图象经过点A（2，-1）和点B（0，3），
函数 解析式为。
函数 ；
函数 式。
函数 ，即把y表示成“”的形式，由与成正比例，故可设，经变形可证。
函数 表示式中，求得参数的值。
函数 。
函数 的图象沿x轴向右（）或向左（）平移|a|个单位，再沿y轴向上（）或向下平移|b|个单位，即可得到函数 的图象。利用这个平移法则可直接写出所求函数 图象的解析式。
函数 和，试用两种不同的方法比较它们同一个自变量对应的函数 值的大小。
函数 值的大小，可以从图象法，代入法两个角度比较。
函数 的图象。
函数 图象在的函数 图象的下方，即。
函数 图象在的函数 图象的上方，即。
函数 的自变量x的取值范围是，相应函数 值的范围是，求此函数 的解析式。
函数 的图象是直线，故当时，图象是线段，由一次函数 的增减性，函数 的最值一定对应x的最值即y的最大值9，一定对应x的最大值6，或最小值，这要视k的符号而定。
函数 解析式为。
1.早期函数 概念——几何观念下的函数
函数 或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数 的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数 概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数 的一般意义，大部分函数 是被当作曲线来研究的。
函数 ）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
函数 概念──代数观念下的函数
函数 概念的基础上对函数 概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数 ，并强调函数 要用公式来表示。
函数 定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数 。”
函数 是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰•贝努利给出的函数 定义称为解析函数 ，并进一步把它区分为代数函数 和超越函数 ，还考虑了“随意函数 ”。不难看出，欧拉给出的函数 定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
函数 概念──对应关系下的函数
函数 。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数 来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数 关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
函数 也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数 概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数 的认识又推进了一个新层次。
函数 概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数 。”这个定义避免了函数 定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数 定义。
函数 定义，通过集合概念把函数 的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
函数 概念──集合论下的函数
函数 ，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
函数 定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数 ，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
函数 ，映射，对应，变换通常都有同一个意思。
函数 只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数 包含于映射。当然，映射也只是一部分。 设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数 ，也叫取整函数 。
复变函数 是定义域为复数集合的函数 。
函数 就叫做复变函数 ，而与之相关的理论就是复变函数 论。解析函数 是复变函数 中一类具有解析性质的函数 ，复变函数 论主要就研究复数域上的解析函数 ，因此通常也称复变函数 论为解析函数 论。
函数 论的发展简况
函数 论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数 的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
函数 论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数 这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数 论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
函数 论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数 的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
函数 论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数 论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
函数 论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数 来解决的。
函数 论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数 论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
函数 论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
函数 论的内容
函数 论主要包括单值解析函数 理论、黎曼曲面理论、几何函数 论、留数理论、广义解析函数 等方面的内容。
函数 的变量取某一定值的时候，函数 就有一个唯一确定的值，那么这个函数 解就叫做单值解析函数 ，多项式就是这样的函数 。
函数 也研究多值函数 ，黎曼曲面理论是研究多值函数 的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数 的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数 ，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数 在离曼曲面上就变成单值函数 。
函数 域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数 的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
函数 论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数 论，复变函数 可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数 所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
函数 论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数 积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数 定积分，可以化为复变函数 沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数 在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
函数 的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数 叫做广义解析函数 。广义解析函数 所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数 的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数 。
函数 的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
函数 论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数 论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数 .
函数 表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0,x≠0) 的函数 ，叫做反比例函数 。
函数 的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1
函数 的特点：y=k/x→xy=k
函数 图像性质：
函数 的图像为双曲线。
函数 关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数 的解析式可以得出，在反比例函数 的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。
函数 图像。
函数 图像的两个分支分别在一，三象限，因为在同一支反比例函数 图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数
函数 图像图像的两个分支分别在二，四象限，因为在同一支反比例函数 图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数
函数 的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。
函数 图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。
许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数 。比如在C语言中:
函数 ，函数 有参数与返回值。C++程序设计中的函数 可以分为两类：带参数的函数 和不带参数的函数 。这两种参数的声明、定义也不一样。
函数 的声明：
函数 名+（类型标示符+参数）
函数 的声明：
函数 名（）
函数 体。
函数 有返回值，不带参数的没有返回值。
函数 的调用：函数 必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数 名（实参）
函数 名后的小括号中的实参必须和声明函数 时的函数 括号中的形参个数相同。
函数 可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。
函数
函数 ）
函数 ）
函数 ）
函数 ） 定义 设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数 关系，记为
函数 ，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数 )
函数 都可以复合成一个复合函数 ，只有当μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定义域Df的交集不为空集时，二者才可以复合成一个复合函数 。
函数 y=f(u)的定义域是B﹐函数 u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是
函数 的单调性的步骤如下：(1)求复合函数 定义域；(2)将复合函数 分解为若干
函数 (一次、二次、幂、指、对函数 )；(3)判断每个常见函数 的单调性；(4)将中间
函数 的单调性。
函数 y=0.8^(x2-4x+3)的单调性。
函数 定义域为R。
函数 y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数 ，
函数 ，在[2，+∞)上是增函数 ，
函数 y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数 ，在[2，+∞)上是减函数 。
函数 求参数取值范围
hanshu
函数
函数 就是这类依赖关系的一种数学概括。
函数 ，集□ 称为函数 的定义域。数□(□)称为函数 在□的函数 值，全体函数 值的集М={□(□)|□□□□□}=□(□)称为函数 的值域。一般，由规则□在□上定义的函数 用记号
函数 □:□→М是从集□到集М上的映射。
函数 定义域□的一些最简单情形可以是整个数轴,即全体实数的集□；也可以是数轴上的某个闭区间[□，□]={□|□≤□≤□}或开区间(□,□)={□|□ 函数 记号□:□→М准确地表现了函数 概念的内涵。但是人们需要能简便表示函数 的其他方法。目前科学著作中比较流行的做法是允许把函数 □:□→М记作□(□)(□□□)或者更简单地记作□(□)（如果定义域 D是不写自明的）。例如：对一切实数□，规则 □(□)=2□3-1将定义出一个函数 □:□→□,通常人们就把它记作2□3-1(□□□□□)或者 2□3-1。严格说来,这样做是有缺陷的，因为它多少混淆了函数 □与数（函数 值）□(□)。不过它仍然被广泛采用。
函数 □:□→М。如果令□是一个以□为变域的变量（不再像前面那样表示□中的某一个数），令□是一个以М为变域的变量，那么,函数 □显示的是：对于变量□在□内所取的每一个值，通过□能给变量□在М内惟一地确定出一个对应值。由此可见，变量□通过□表现出对变量□的一种依赖关系，而函数 □则是这种依赖关系的数学表达。
函数 概念添加上变量这一层含义的时候，总把以函数 定义域□为变域的变量叫做函数 的自变量,把以函数 值域М为变域的变量叫做函数 的因变量。于是在上面的作法中，□是自变量，□是因变量。“变量□通过函数 □依赖于□”这个事实也常常被简单地说成“变量□是变量□的□函数 ”，并且用□=□(□)这种等式形式的记号来加以表示。
函数 理解成变量间的依赖关系，丰富了人们对这个抽象数学概念的直觉联想。但这并不丝毫改变函数 的本质内容。特别说来，用什么名称来称呼一个函数 的变量是无关紧要的。记号□=□(□) (□□□□□)和□=□(□)(□□□□□)在数学上表示的是同一个函数 □:□→М。
函数 的图像 对任意一个函数 □=□(□)(□□□□□)，如果把□中的任意一个数□与它的对应数□(=□(□))组成一个有序数对(□,□)，相应地便在坐标平面□□□上得到一点□(□,□)。平面上所有这种点（数对）的集
函数 □的图像（图1函数 的图像示例）。由函数 定义,集□具有下述性质：若(□,□),(□,□)都属于□，则□=□，就是说,□不含有第一个坐标（第一个数）相同但相异的点（数对）。从这一性质出发,如果给定了集□，那么函数 本身（定义域和对应规则）也就随之完全确定。所以，每一个函数 都可以定义为某一个具有上述性质的点（有序数对）之集。
函数 ,包括常值函数 □=□(常数)，幂函数 □=□□，指数函数 □=□□，对数函数 □=log□□，三角函数 □=sin □，…，反三角函数 □=arc sin□，…等等的图像，都可以用通常的绘图工具比较满意地画出，它们各形成平面上的一条或者多条曲线（图2 函数 □=□□的图像、图3函数 □=□□(□>1)、□=log□□的图像、图4函数 □=sin □、□=arc sin □的图像、图 : Han Shu n.: function, functions, zeta-function of algebra, quantity whose value depends on the varying values of others n. fonction (mathématique) dos c语言 网络 网络协议 不等式 数学 证明 高等数学 百科大全 宇宙学 物理 量子力学 百科辞典 物理百科 计算机 编程 PB 灯谜 解析式 代数 中学数学 分析学 现代数学 拓扑线性空间 基本初等函数 双曲函数 微积分 集合论 代数学 近世代数 更多结果...
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