quanlianxu suanzi
全连续算子
completely continuous operator
又称紧算子，是最接近于有限维空间上线性算子的一类重要算子。
在线性代数中，关于线性变换所相应的线性方程组的求解问题已被完全解决了，其主要结果是：非齐次线性方程组有惟一解，当且仅当相应的齐次方程组只有零解；如果齐次方程是退化的，那么共轭方程也是退化的，非齐次方程组可解当且仅当自由项必与共轭的齐次方程组非零解相正交，并且在可解时，还可写出它的解的一切形式（即通解）。20世纪初，在讨论第二类线性积分方程时，也得到了和线性方程组完全类似的弗雷德霍姆理论。后来，人们发现这种理论对（线性）全连续算子也是成立的。
全连续线性算子 设□为巴拿赫空间， □为□到自身的线性算子,如果对□中一切有界序列{□□}，存在子序列{□□)，使□□□收敛，就称□为全连续算子(或紧算子)。如果□中某子集内的每个序列都有收敛子序列,就称这个集为列紧集。全连续算子的定义可以改述为:把□中有界集映为列紧集的算子。如果对□中集М,定义М的非紧性测度为
□
□式中□,那么全连续算子□□的定义又可以改述为：对一切有界集М，满足□(□М)＝0的算子。
□ 上的有限秩算子（即值域是有限维的有界线性算子）就是一类重要的全连续算子。在希尔伯特空间中，每个全连续算子必为有限秩算子的一致极限（见线性算子）。这个性质在巴拿赫空间中是否成立一直为人们所注意。后来，P.恩夫洛举了一个反例，对此作了否定的回答，由此更引起人们对巴拿赫空间结构研究的兴趣。
全连续算子的另一个重要的典型例子是□2[0，1]上的积分算子：如果□(□，□)为正方形□＝{(□，□)｜0≤□,□≤1}上平方可积函数，则称由□确定的□2[0,1]到自身的算子□是以□(□,□)为核的积分算子，它是□2[0,1]上的全连续算子。特别，如果当□ 巴拿赫空间□上全连续算子□有下述重要性质：①全连续算子的共轭算子是全连续算子;②□的值域不能包含无限维闭线性子空间；③对任何复数□□≠0,□□□□-□（□为单位算子）的值域必是闭线性子空间。
全连续算子谱分析 下面是由F.里斯和J.P.绍德尔完成的所谓巴拿赫空间上全连续算子的弗雷德霍姆理论：设□是巴拿赫空间□上的全连续算子，①当□是无限维时，零必是□的谱点，且□的谱的极限点只可能是零；②如果□□□≠0是□的谱点，则它必是□的特征值,也是□□的特征值，而且□和 □□相应于□□□的特征子空间是两个维数相同的有限维子空间；③如果□□1,□□□2,…,□□□□是□的任意有限个不同的特征值,□1,□2,…,□□为相应的特征向量,则□1,□2,…,□□必线性无关;④如果□□□,□分别是□,□□的谱点,并且□□≠□时,则□相应于□□的特征向量□与□□相应于□的特征向量□必“正交”,即□(□)=0;⑤设□□□≠0,则方程(□□□□-□)□＝□对一切□□□□□可解的充要条件是(□□-□)□=0只有零解；⑥如果□□□是□的非零特征值,则方程(□□-□)□=□可解的充要条件是□与□□相应于□□□的一切特征向量□正交;⑦如果□□□0是□的非零特征值，则在□□□0的某个邻域中，(□□□-□)-1必有P.A.洛朗展开：
□式中□是 □上有界线性算子。
迹算子 对希尔伯特空间上的全连续算子□,则进一步还可以找到两个就范正交系{□□}和{□□}以及一列非负实数□□□→0，使
□称{□□□｜□＝1,2…}为□的奇异数。如果奇异数满足
□就称□为□□类全连续算子,而其中□1类算子又称为迹类算子， |