余弦定理

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No. 1

　　关于三角形的任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍的定理。即a2＝b2+c2-2bccosa，b2＝c2+a2-2cacosb，c2＝a2+b2-2abcosc。

No. 2

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．
　　对于任意三角形三边为a,b,c 三角为a,b,c 满足性质
　　a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
　　b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosb
　　c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc
　　cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
　　cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac
　　cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc
　　证明：
　　如图：
　　∵a=b-c
　　∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
　　再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
　　同理可证其他，而下面的cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将cosa移到右边表示一下。
　　---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
　　平面几何证法：
　　在任意△abc中
　　做ad⊥bc.
　　∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
　　则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
　　根据勾股定理可得：
　　ac^2=ad^2+dc^2
　　b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
　　b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
　　b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
　　cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
　　如果一个三角形两边的平方和等于第三
　　边的平方,那么第三边所对的角一定是直
　　角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
　　对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
　　所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
　　同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质

　　对于任意三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍即：三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
　　(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
　　a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
　　b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
　　c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
　　CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
　　CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
　　CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

余弦定理证明

　　平面向量证法：
　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）
　　∴c·c=(a+b)·(a+b)
　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
　　（以上粗体字符表示向量）
　　又∵Cos(π-θ)=-CosC
　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
　　同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
　　平面几何证法：
　　在任意△ABC中
　　做AD⊥BC.
　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
　　根据勾股定理可得：
　　AC^2=AD^2+DC^2
　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
　　b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

余弦定理的作用

　　(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
　　(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.
　　例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角.
　　解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.
　　由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理
　　cos A==-
　　所以∠A=120°.
　　再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.
　　解由余弦定理可知
　　BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
　　=4+9-2×2×3×=7，
　　所以BC=7.
　　以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.

其他

　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

百科大全

　　余弦定理
　　cosine theorem
　　两边与其夹角的余弦之积的二倍:
　　eZ=aZ+bZ一Zab cosC，
　　这里，a，b，c是三角形的三个边，C是a和b之间的夹
　　角.
　　余弦定理【。更.犯伪曰扣图1二憾犯扭叮。.T份碑M川
　　三角形一边的平方等于另外两边的平方一和减去这

英文解释

: law of cosines