jiaohuan daishu
交换代数
commutative algebra
以（含幺）交换环为主要研究对象的一门代数学科。它是以代数数论和代数几何为背景而产生与发展的，并为这两个古老的数学分支提供了新的统一的工具。
18世纪末到19世纪中期，C.F.高斯和E.E.库默尔等人在研究关于有理整数性质和方程的有理整数解的时候，把这些初等数论问题放在二次域、分圆域以及它们的代数整数环中考虑，经过J.W.R.戴德金和D.希尔伯特等人的抽象化和系统化，形成了研究代数数域和它的代数整数环的一个新学科即代数数论。比数论稍晚些时候，几何学也经历了代数化过程，从19世纪末开始，由于希尔伯特等人的工作，特别是20世纪20～30年代德国女数学家(A.)E.诺特关于理想准素分解的理论和W.克鲁尔建立的赋值论、局部环理论和维数理论,为古典几何提供了全新的代数工具。从此，交换代数也成为一门独立的学科。在20世纪50年代以后,交换代数得到很大发展,模论的研究、同调代数和各种上同调理论的建立，特别是法国数学家A.格罗腾迪克的概型理论，对于交换代数的发展起了巨大的推动作用。概型理论是算术几何化的过程的理论，它将数论和射影代数几何赋以新的高度统一的观点。利用概型理论，P.德利涅于70年代初证明了A.韦伊关于有限域上射影代数簇□ 函数的一个著名猜想。现在，交换代数的运用已深入到微分与代数拓扑、多复变函数论、奇点理论、甚至偏微分方程等学科。
根和根式理想 以下的环均指含幺交换环。环□中全部素理想构成的集合,称为□的(素)谱,记作Spec(□)。设□是环□□□的真理想,(即□≠□)，则□□□中至少存在一个包含□的素理想，所有包含□的素理想的交称为□的根，记作□。事实上，□存在正整数□，使得□□□□□□}。显然，□。若□,则称□为根式理想。特别当□=(0)（零理想）时，□就是□中全部幂零元构成的理想,称为环□ 的根。设□是代数封闭域，在代数几何中，□□维仿射空间□□□中的代数簇和多项式环 □中的根式理想是反序(对于包含序)一一对应的, 并且□□中不可约代数簇和□□□的素理想也是反序一一对应的，这是代数几何的基点。
分式环和局部化 环□的子集□□□称为乘法集,是指①1□□□□；②□、□□□□□□□□□□□□，在集合□□×□□上定义关系～：(□,□)～(□□,□□)□存在□□□□□使得□(□□□- □□□)=0。～是等价关系。以□□□表示元素（□□,□）的等价类，□□□□表示全部等价类组成的集合。对于加法□和乘法□，□□□□是含幺交换环，称为□□对于乘法集□的分式环。映射□:□□→□□□□，□是环同态，其核为Ker□□□={□□□□□|存在□□□□□使得□□□=□0}。若□□□中非零元素均不是□□□的零因子，则□□为单射。从而□可看成□□□的子环。当□□□为整环而□=□-{0}时，□□□就是□ 的商域。设М为□模而□□□为□□□的乘法集，可以类似地定义М□对于□□□的分式模□□М,这是□□□□模。
最重要的分式环是取□=□-□，其中□为□□的素理想，这时□□□□记为□□，称为□□在□处的局部化。□□是局部环（即只有惟一极大理想的环）。类似地对□=□-□可定义□□模М在□处的局部化□□М，这是□□模，并记为М□。
□□□:М→□□М是从□□□模范畴到□□□□模范畴的正合函子，它有许多好的性质。它与模的许多运算都是可交换的,并且保持模和（当□□□□作用于环范畴时）环的许多性质，从而得到广泛的应用，其中重要应用之一是所谓局部－整体原则。关于环（或者模）的某个性质□□□称为局部性质，是 |