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量子力學是在舊量子論的基礎上發展起來的。舊量子論包括普朗剋的量子假說、愛因斯坦的光量子理論和玻爾的原子理論。
1900年，普朗剋提出輻射量子假說，假定電磁場和物質交換能量是以間斷的形式(能量子)實現的，能量子的大小同輻射頻率成正比，比例常數稱為普朗剋常數，從而得出黑體輻射能量分佈公式，成功地解釋了黑體輻射現象。
1905年，愛因斯坦引進光量子(光子)的概念，並給出了光子的能量、動量與輻射的頻率和波長的關係，成功地解釋了光電效應。其後，他又提出固體的振動能量也是量子化的，從而解釋了低溫下固體比熱問題。
1913年，玻爾在盧瑟福有核原子模型的基礎上建立起原子的量子理論。按照這個理論，原子中的電子衹能在分立的軌道上運動，在軌道上運動時候電子既不吸收能量，也不放出能量。原子具有確定的能量，它所處的這種狀態叫“定態”，而且原子衹有從一個定態到另一個定態，才能吸收或輻射能量。這個理論雖然有許多成功之處，但對於進一步解釋實驗現象還有許多睏難。
在人們認識到光具有波動和微粒的二象性之後，為瞭解釋一些經典理論無法解釋的現象，法國物理學家德布羅意於1923年提出了物質波這一概念。認為一切微觀粒子均伴隨着一個波，這就是所謂的德布羅意波。
德布羅意的物質波方程：E=ħω，p=h/λ，其中ħ＝h/2π，可以由E=p²/2m得到λ＝√(h²/2mE)。
由於微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運動規律就不同於宏觀物體的運動規律，描述微觀粒子運動規律的量子力學也就不同於描述宏觀物體運動規律的經典力學。當粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規律也由量子力學過渡到經典力學。
量子力學與經典力學的差別首先表現在對粒子的狀態和力學量的描述及其變化規律上。在量子力學中，粒子的狀態用波函數描述，它是坐標和時間的復函數。為了描寫微觀粒子狀態隨時間變化的規律，就需要找出波函數所滿足的運動方程。這個方程是薛定諤在1926年首先找到的，被稱為薛定諤方程。
當微觀粒子處於某一狀態時，它的力學量(如坐標、動量、角動量、能量等)一般不具有確定的數值，而具有一係列可能值，每個可能值以一定的幾率出現。當粒子所處的狀態確定時，力學量具有某一可能值的幾率也就完全確定。這就是1927年，海森伯得出的測不準關係，同時玻爾提出了並協原理，對量子力學給出了進一步的闡釋。
量子力學和狹義相對論的結合産生了相對論量子力學。經狄拉剋、海森伯（又稱海森堡，下同）和泡利（pauli）等人的工作發展了量子電動力學。20世紀30年代以後形成了描述各種粒子場的量子化理論——量子場論，它構成了描述基本粒子現象的理論基礎。
量子力學是在舊量子論建立之後發展建立起來的。舊量子論對經典物理理論加以某種人為的修正或附加條件以便解釋微觀領域中的一些現象。由於舊量子論不能令人滿意，人們在尋找微觀領域的規律時，從兩條不同的道路建立了量子力學。
1925年，海森堡基於物理理論衹處理可觀察量的認識，拋棄了不可觀察的軌道概念，並從可觀察的輻射頻率及其強度出發，和玻恩、約爾丹一起建立起矩陣力學；1926年，薛定諤基於量子性是微觀體係波動性的反映這一認識，找到了微觀體係的運動方程，從而建立起波動力學，其後不久還證明了波動力學和矩陣力學的數學等價性；狄拉剋和約爾丹各自獨立地發展了一種普遍的變換理論，給出量子力學簡潔、完善的數學表達形式。
海森堡還提出了測不準原理，原理的公式表達如下：ΔxΔp≥ħ/2。 |
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量子力學的基本原理包括量子態的概念，運動方程、理論概念和觀測物理量之間的對應規則和物理原理。
在量子力學中，一個物理體係的狀態由態函數表示，態函數的任意綫性疊加仍然代表體係的一種可能狀態。狀態隨時間的變化遵循一個綫性微分方程，該方程預言體係的行為，物理量由滿足一定條件的、代表某種運算的算符表示；測量處於某一狀態的物理體係的某一物理量的操作，對應於代表該量的算符對其態函數的作用；測量的可能取值由該算符的本徵方程决定，測量的期待值由一個包含該算符的積分方程計算。
(一般而言,量子力學並不對一次觀測確定地預言一個單獨的結果.取而代之,它預言一組可能發生的不同結果,並告訴我們每個結果出現的概率.也就是說,如果我們對大量類似的係統作同樣地測量,每一個係統以同樣的方式起始,我們將會找到測量的結果為A出現一定的次數,為B出現另一不同的次數等等.人們可以預言結果為A或B的出現的次數的近似值,但不能對個別測量的特定結果做出預言.)
態函數的平方代表作為其變數的物理量出現的幾率。根據這些基本原理並附以其他必要的假設，量子力學可以解釋原子和亞原子的各種現象。
根據狄拉剋符號表示，態函數，用<Ψ|和|Ψ>表示，態函數的概率密度用ρ＝<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（ħ/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率為概率密度的空間積分。
態函數可以表示為展開在正交空間集裏的態矢比如|Ψ（x）>＝∑|ρ_i>，其中|ρ_i>為彼此正交的空間基矢，<m|n>＝δm,n為狄拉剋函數，滿足正交歸一性質。
態函數滿足薛定諤波動方程，iħ(d/dt)|m>=H|m>,分離變數後就能得到不含時狀態下的演化方程H|m>＝En|m>，En是能量本徵值，H是哈密頓能量算子。
於是經典物理量的量子化問題就歸結為薛定諤波動方程的求解問題。
關於量子力學的解釋涉及許多哲學問題，其核心是因果性和物理實在問題。按動力學意義上的因果律說，量子力學的運動方程也是因果律方程，當體係的某一時刻的狀態被知道時，可以根據運動方程預言它的未來和過去任意時刻的狀態。
但量子力學的預言和經典物理學運動方程(質點運動方程和波動方程)的預言在性質上是不同的。在經典物理學理論中，對一個體係的測量不會改變它的狀態，它衹有一種變化，並按運動方程演進。因此，運動方程對决定體係狀態的力學量可以作出確定的預言。
但在量子力學中，體係的狀態有兩種變化，一種是體係的狀態按運動方程演進，這是可逆的變化；另一種是測量改變體係狀態的不可逆變化。因此，量子力學對决定狀態的物理量不能給出確定的預言，衹能給出物理量取值的幾率。在這個意義上，經典物理學因果律在微觀領域失效了。
據此，一些物理學家和哲學家斷言量子力學擯棄因果性，而另一些物理學家和哲學家則認為量子力學因果律反映的是一種新型的因果性——幾率因果性。量子力學中代表量子態的波函數是在整個空間定義的，態的任何變化是同時在整個空間實現的。
20世紀70年代以來，關於遠隔粒子關聯的實驗表明，類空分離的事件存在着量子力學預言的關聯。這種關聯是同狹義相對論關於客體之間衹能以不大於光速的速度傳遞物理相互作用的觀點相矛盾的。於是，有些物理學家和哲學家為瞭解釋這種關聯的存在，提出在量子世界存在一種全局因果性或整體因果性，這種不同於建立在狹義相對論基礎上的局域因果性，可以從整體上同時决定相關體係的行為。
量子力學用量子態的概念表徵微觀體係狀態，深化了人們對物理實在的理解。微觀體係的性質總是在它們與其他體係，特別是觀察儀器的相互作用中表現出來。
人們對觀察結果用經典物理學語言描述時，發現微觀體係在不同的條件下，或主要表現為波動圖象，或主要表現為粒子行為。而量子態的概念所表達的，則是微觀體係與儀器相互作用而産生的表現為波或粒子的可能性。
量子力學表明，微觀物理實在既不是波也不是粒子，真正的實在是量子態。真實狀態分解為隱態和顯態，是由於測量所造成的，在這裏衹有顯態纔符合經典物理學實在的含義。微觀體係的實在性還表現在它的不可分離性上。量子力學把研究對象及其所處的環境看作一個整體，它不允許把世界看成由彼此分離的、獨立的部分組成的。關於遠隔粒子關聯實驗的結論，也定量地支持了量子態不可分離 . 不確定性指經濟行為者在事先不能準確地知道自己的某種决策的結果。或者說，衹要經濟行為者的一種决策的可能結果不止一種，就會産生不確定性。
不確定性也指量子力學中量子運動的不確定性。由於觀測對某些量的幹擾,使得與它關聯的量(共軛量)不準確。這是不確定性的起源。
不確定性，經濟學中關於風險管理的概念，指經濟主體對於未來的經濟狀況（尤其是收益和損失）的分佈範圍和狀態不能確知。
在量子力學中，不確定性指測量物理量的不確定性，由於在一定條件下，一些力學量衹能處在它的本徵態上，所表現出來的值是分立的，因此在不同的時間測量，就有可能得到不同的值，就會出現不確定值，也就是說，當你測量它時，可能得到這個值，可能得到那個值，得到的值是不確定的。衹有在這個力學量的本徵態上測量它，才能得到確切的值。
在經典物理學中，可以用質點的位置和動量精確地描述它的運動。同時知道了加速度，甚至可以預言質點接下來任意時刻的位置和動量，從而描繪出軌跡。但在微觀物理學中，不確定性告訴我們，如果要更準確地測量質點的位置，那麽測得的動量就更不準確。也就是說，不可能同時準確地測得一個粒子的位置和動量，因而也就不能用軌跡來描述粒子的運動。這就是不確定性原理的具體解釋。
波爾波爾，量子力學的傑出貢獻者，波爾指出：電子軌道量子化概念。波爾認為，原子核具有一定的能級，當原子吸收能量，原子就躍遷更高能級或激發態，當原子放出能量，原子就躍遷至更低能級或基態，原子能級是否發生躍遷，關鍵在兩能級之間的差值。根據這種理論，可從理論計算出裏德伯常理，與實驗符合的相當好。可波爾理論也具有局限性，對於較大原子，計算結果誤差就很大，波爾還是保留了宏觀世界中，軌道的概念，其實電子在空間出現的坐標具有不確定性，電子聚集的多，就說明電子在這裏出現的概率較大，反之，概率較小。很多電子聚集在一起，可以形象的稱為電子云。 |
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、霍金膜上的四維量子論
類似10維或11維的“弦論”＝振動的弦、震蕩中的象弦一樣的微小物體。
霍金膜上四維世界的量子理論的近代詮釋（鄧宇等，80年代）：
振動的量子（波動的量子＝量子鬼波）＝平動微粒子的振動；振動的微粒子；震蕩中的象量子（粒子）一樣的微小物體。
波動量子＝量子的波動＝微粒子的平動+振動
＝平動+振動
＝矢量和
量子鬼波的DENG'S詮釋：微粒子（量子）平動與振動的矢量和
粒子波、量子波＝粒子的震蕩（平動粒子的震動） |
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振動粒子的量子論詮釋
物質的粒子性由能量 E 和動量 p 刻劃，波的特徵則由電磁波頻率 ν 和其波長 λ 表達，這兩組物理量的比例因子由普朗剋常數 h（h=6.626*10^-34J·s） 所聯繫。
E=hv , E=mc^2 聯立兩式，得：m=hv/c^2(這是光子的相對論質量，由於光子無法靜止，因此光子無靜質量）而p=mc
則p=hv/c（p 為動量）
粒子波的一維平面波的偏微分波動方程,其一般形式為
∂ξ/∂x=(1/u)(∂ξ/∂t) 5
三維空間中傳播的平面粒子波的經典波動方程為
∂ξ/∂x+∂ξ/∂y+∂ξ/∂z=(1/u)(∂ξ/∂t) 6
波動方程實際是經典粒子物理和波動物理的統一體,是運動學與波動學的統一.波動學是運動學的一部分,是運動學的延伸,即平動與振動的矢量和.對象不同,一個是連續介質,一個是定域的粒子,都可以具有波動性.（鄧宇等，80年代）
經典波動方程1,1'式或4--6式中的u,隱含着不連續的量子關係E=hυ和德布羅意關係λ=h/p,由於u=υλ，故可在u=υλ的右邊乘以含普朗剋常數h的因子(h/h),就得到
u＝(υh)(λ/h)
=E/p
鄧關係u＝E/p，使經典物理與量子物理,連續與不連續(定域)之間産生了聯繫,得到統一.
2.粒子的波動與德布羅意物質波的統一
德布羅意關係λ=h/p,和量子關係E=hυ(及薛定諤方程)這兩個關係式實際表示的是波性與粒子性的統一關係, 而不是粒性與波性的兩分.德布羅意物質波是粒波一體的真物質粒子,光子,電子等的波動. |
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19世紀末20世紀初，經典物理已經發展到了相當完善的地步，但在實驗方面又遇到了一些嚴重的睏難，這些睏難被看作是“晴朗天空的幾朵烏雲”，正是這幾朵烏雲引發了物理界的變革。下面簡述幾個睏難：
⑴黑體輻射問題
完全黑體（空窖）在與熱輻射達到平衡時，輻射能量密度隨頻率的變化有一個麯綫。W.Wien從熱力學普遍理論考慮以及分析實驗數據得出一個半經典的公式，公式與實驗麯綫大部分符合得不錯，但在長波波段，公式與實驗有明顯的偏離。這促使Planck去改進Wien的公式得到了一個兩參數的Planck公式，公式與實驗數據符合得相當好。
⑵光電效應
由於紫外綫照射，大量電子從金屬表面逸出。經研究發現，光電效應呈現以下幾個特點：
a. 有一個確定的臨界頻率，衹有入射光的頻率大於臨界頻率，纔會有光電子逸出。
b. 每個光電子的能量衹與照射光的頻率有關。
c. 入射光頻率大於臨界頻率時，衹要光一照上，幾乎立刻觀測到光電子。
以上3個特點，c是定量上的問題，而a、b在原則上無法用經典物理來解釋。
⑶原子的綫狀光譜及其規律
光譜分析積纍了相當豐富的資料，不少科學家對它們進行了整理與分析，發現原子光譜是呈分立的綫狀光譜而不是連續分佈。譜綫的波長也有一個很簡單的規律。
⑷原子的穩定性
Rutherford模型發現後，按照經典電動力學，加速運動的帶電粒子將不斷輻射而喪失能量。故，圍繞原子核運動的電子終會因大量喪失能量而’掉到’原子核中去。這樣原子也就崩潰了。但現實世界表明，原子是穩定的存在着。
⑸固體與分子得比熱問題
在溫度很低的時候能量均分定理不適用。
Planck-Einstein的光量子理論
量子理論是首先在黑體輻射問題上突破的。Planck為了從理論上推導他的公式，提出了量子的概念-h，不過在當時沒有引起很多人的註意。Einstein利用量子假設提出了光量子的概念，從而解决了光電效應的問題。Einstein還進一步把能量不連續的概念用到了固體中原子的振動上去，成功的解决了固體比熱在T→0K時趨於0的現象。光量子概念在Compton散射實驗中得到了直接的驗證。
Bohr的量子論
Bohr把Planck-Einstein的概念創造性的用來解决原子結構和原子光譜的問題，提出了他的原子的量子論。主要包括兩個方面：
a. 原子能且衹能穩定的存在分立的能量相對應的一係列的狀態中。這些狀態成為定態。
b. 原子在兩個定態之間躍遷時，吸收或發射的頻率v是唯一的，由hv=En-Em 給出。 Bohr的理論取得了很大的成功，首次打開了人們認識原子結構的大門，它存在的問題和局限性也逐漸為人們發現。
De Broglie的物質波
在Planck與Einstein的光量子理論及Bohr的原子量子論的啓發下，考慮到光具有波粒二象性，de Broglie根據類比的原則，設想實物理子也具有波粒二象性。他提出這個假設，一方面企圖把實物粒子與光統一起來，另一方面是為了更自然的去理解能量的不連續性，以剋服Bohr量子化條件帶有人為性質的缺點。實物粒子波動性的直接證明，是在1927年的電子衍射實驗中實現的。
量子力學的建立
量子力學本身是在1923-1927年一段時間中建立起來的。兩個等價的理論---矩陣力學和波動力學幾乎同時提出。矩陣力學的提出與Bohr的早期量子論有很密切的關係。Heisenberg一方面繼承了早期量子論中合理的內核，如能量量子化、定態、躍遷等概念，同時又摒棄了一些沒有實驗根據的概念，如電子軌道的概念。Heisenberg、Bohn和Jordan的矩陣力學，從物理上可觀測量，賦予每一個物理量一個矩陣，它們的代數運算規則與經典物理量不同，遵守乘法不可易的代數。波動力學來源於物質波的思想。Schr dinger在物質波的啓發下，找到一個量子體係物質波的運動方程-Schr dinger方程，它是波動力學的核心。後來Schr dinger還證明，矩陣力學與波動力學完全等價，是同一種力學規律的兩種不同形式的表述。事實上，量子理論還可以更為普遍的表述出來，這是Dirac和Jordan的工作。
量子物理學的建立是許多物理學家共同努力的結晶，它標志着物理學研究工作第一次集體的勝利。 |
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量子力學是描述微觀世界結構、運動與變化規律的物理科學。它是20世紀人類文明發展的一個重大飛躍，量子力學的發現引發了一係列劃時代的科學發現與技術發明，對人類社會的進步做出重要貢獻。
19世紀末正當人們為經典物理取得重大成就的時候，一係列經典理論無法解釋的現象一個接一個地發現了。德國物理學家維恩通過熱輻射能譜的測量發現的熱輻射定理。德國物理學家普朗剋為瞭解釋熱輻射能譜提出了一個大膽的假設：在熱輻射的産生與吸收過程中能量是以hV為最小單位，一份一份交換的。這個能量量子化的假設不僅強調了熱輻射能量的不連續性，而且與輻射能量和頻率無關由振幅確定的基本概念直接相矛盾，無法納入任何一個經典範疇。當時衹有少數科學家認真研究這個問題。
著名科學家愛因斯坦經過認真思考，於1905年提出了光量子說。1916年美國物理學家密立根發表了光電效應實驗結果，驗證了愛因斯坦的光量子說。
1913年丹麥物理學家玻爾為解决盧瑟福原子行星模型的不穩定（按經典理論，原子中電子繞原子核作圓周運動要輻射能量，導致軌道半徑縮小直到跌落進原子核，與正電荷中和），提出定態假設：原子中的電子並不像行星一樣可在任意經典力學的軌道上運轉，穩定軌道的作用量fpdq必須為h的整數倍（角動量量子化），即fpdq＝nh，n稱之為量子數。玻爾又提出原子發光過程不是經典輻射，是電子在不同的穩定軌道態之間的不連續的躍遷過程，光的頻率由軌道態之間的能量差AE＝hV確定，即頻率法則。這樣，玻爾原子理論以它簡單明晰的圖像解釋了氫原子分立光譜綫，並以電子軌道態直觀地解釋了化學元素周期表，導致了72號元素鉛的發現，在隨後的短短十多年內引發了一係列的重大科學進展。這在物理學史上是空前的。
由於量子論的深刻內涵，以玻爾為代表的哥本哈根學派對此進行了深入的研究，他們對對應原理、矩陣力學、不相容原理、測不準關係、互補原理。量子力學的幾率解釋等都做出了貢獻。
1923年4月美國物理學家康普頓發表了X射綫被電子散射所引起的頻率變小現象，即康普頓效應。按經典波動理論，靜止物體對波的散射不會改變頻率。而按愛因斯坦光量子說這是兩個“粒子”碰撞的結果。光量子在碰撞時不僅將能量傳遞而且也將動量傳遞給了電子，使光量子說得到了實驗的證明。
光不僅僅是電磁波，也是一種具有能量動量的粒子。1924年美籍奧地利物理學家泡利發表了“不相容原理”：原子中不能有兩個電子同時處於同一量子態。這一原理解釋了原子中電子的殼層結構。這個原理對所有實體物質的基本粒子（通常稱之為費米子，如質子、中子、誇剋等）都適用，構成了量子統計力學———費米統計的基點。為解釋光譜綫的精細結構與反常塞曼效應，泡利建議對於原於中的電子軌道態，除了已有的與經典力學量（能量、角動量及其分量）對應的三個量子數之外應引進第四個量子數。這個量子數後來稱為“自旋”，是表述基本粒子一種內在性質的物理量。
1924年，法國物理學家德布羅意提出了表達波粒二象性的愛因斯坦———德布羅意關係：E＝hV，p＝h／入，將表徵粒子性的物理量能量、動量與表徵波性的頻率、波長通過一個常數h相等。
1925年，德國物理學家海森伯和玻爾，建立了量子理論第一個數學描述———矩陣力學。1926年，奧地利科學家提出了描述物質波連續時空演化的偏微分方程———薛定諤方程，給出了量子論的另一個數學描述——波動力學。1948年,費曼創立了量子力學的路徑積分形式。
量子力學在低速、微觀的現象範圍內具有普遍適用的意義。它是現代物理學基礎之一，在現代科學技術中的表面物理、半導體物理、凝聚態物理、粒子物理、低溫超導物理、量子化學以及分子生物學等學科的發展中，都有重要的理論意義。量子力學的産生和發展標志着人類認識自然實現了從宏觀世界嚮微觀世界的重大飛躍。 |
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1. 根據體係的物理條件，寫出它的勢能函數，進一步寫出 Hamilton算符及 Schrodingger方程。
2. 解Schrodinger方程，根據邊界條件求ψn和En。
3. 描繪出ψn、︱ψn︱等的圖形，並討論其分佈特點。
4. 由上面求得的，進一步求出各個對應狀態的各種力學量的數值，從中瞭解體係的質。
5. 聯繫實際問題，對求得的結果加以應用。
量子力學在小說《我們無處安放的青春》中的解釋....
羅慧：在量子力學的世界裏邊衹有變數沒有常數。就好比今天我在這給你們講課。從量子力學的角度來看，因為裏邊充滿了太多的變數，這個概率接近於零，也就是說這完全是一個偶然。所以，我想我們大傢都應該珍惜這個偶然。
李然：就說量子力學吧，在量子力學的世界裏面，衹有變數沒有常數，就好像我能預見你，如果從量子力學的角度來看，裏面充滿了太多變數，這個概率接近於零，也就是說這完全是一個偶然，所以我們大傢都應該珍惜這個偶然． |
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liangzi lixue
量子力學
quantum mechanics
物理學的一個分支學科。它研究微觀粒子的運動規律，是研究原子、分子、凝聚物質以至原子核和基本粒子的結構和性質的基礎理論。量子力學不僅是近代物理學的基礎理論之一，而且在化學等有關學科和許多近代技術中也得到了廣泛的應用。
在人們認識到光具有波動和微粒的二象性之後，為瞭解釋一些新發現的經典理論無法解釋的現象，法國物理學家L.V.德布羅意於1923年提出微觀粒子具有波粒二象性的假說。德布羅意認為：正如光具有波粒二象性一樣,實體的微粒（如電子、原子等）也具有這種性質,即既具有粒子性也具有波動性。這一假說不久就為實驗所證實。
由於微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運動規律就不同於宏觀物體的運動規律，描述微觀粒子運動規律的量子力學也就不同於描述宏觀物體運動規律的經典力學。當粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規律也由量子力學過渡到經典力學。經典力學是量子力學的極限情況。
量子力學與經典力學的差別首先表現在粒子的狀態和力學量的描述及其變化規律上。在量子力學中，粒子的狀態用波函數□(□,□)描述,□它是坐標□和時間□的復函數。□(□，□)□的絶對值二次方乘上 r 處的體積元d□與粒子在這個體積元中出現的幾率□(□,□)成比例，
□,式中□是一個常數。
為了描寫微觀粒子狀態隨時間變化的規律，就需要找出波函數所滿足的運動方程。這個方程是E.薛定諤在1926年首先找到的，被稱為薛定諤方程，它的形式為
□式中□是粒子的質量，□(□，□)是粒子所在力場的勢函數。量子力學要求,波函數□不單要滿足薛定諤方程，還必須滿足以下條件：波函數在變量變化的全部區域內是單值的，除有限個點外是有限的和連續的。這個條件常被稱為波函數的標準條件。
其次，量子力學中力學量所取的形式也不同於經典力學中的力學量。當微觀粒子處於某一狀態時，它的力學量（如坐標、動量、角動量、能量等）一般不具有確定的數值，而具有一係列可能值，每個可能值以一定的幾率出現。當粒子所處的狀態確定時，力學量具有某一可能值的幾率也就完全確定。
算符是對波函數進行某種數學運算的符號。我們在代表力學量的文字上加“∧”號以表示這個力學量的算符。例如當粒子的狀態用波函數□(□,□)描寫時，坐標算符□和動量算符□分別為
□其他在經典力學中能用□和□的函數
□=□(□,□)表示的力學量（如角動量、能量等），在量子力學中的表示式由上式中的□、□改用算符□、□代入而得出
□。
在□態中對力學量□進行多次測量,把所得結果加以平均，就得出力學量□在□態中的期待值，以表示
□。上式稱為力學量的期待值公式。
除了用波函數描寫狀態，用作用於函數的算符描寫力學量這種函數描述方式之外，量子力學還有一種與此等價的矩陣描述方式，就是用一列矩陣描寫狀態，而用多行多列的方矩陣描寫力學量。前者稱為波動力學而後者稱為矩陣力學，兩種描述方式有確定的互相變換的關係。
量子力學是在舊量子論建立之後發展建立起來的。舊量子論對經典物理理論加以某種人為的修正或附加條件以便解釋微觀領域中的一些現象。由於舊量子論不能令人滿意，人們在尋找微觀領域的規律時，從兩條不同的道路建立了量子力學。1925年W.K.海森伯、M.玻恩、E.P.約旦等人從修改經典分析力學的途徑建立了矩陣力學。另一方面薛定諤根據德布羅意的波粒二象性假說在1926年建立了波動力學。後來，薛定諤證明了波動力學與矩陣力學是完全等價的，是統一的量子力學的兩種不同描述方式。
（周世勳）
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