黎曼：我們為什麽看不見高維空間？丨第四維

晴耕雨讀I抱樸守拙 2018-11-05

引言

最近中文社交網絡被英國大數學家聲稱自己證實了“黎曼猜想”刷屏，雖然最後發現其實並沒有證明，但是“黎曼猜想”還是狠狠地熱了一把。

我不是理科生，對“黎曼猜想”講不出所以然，但是黎曼這個人，我還是知道的，因為他對現代的物理、科學、文學甚至藝術，都影響太深遠了。

他創造了一種新的看待世界的方式——“高維概念”，愛因斯坦的相對論就是在黎曼幾何的基礎上發展出來的。

如果大傢說自己讀得書少，沒有讀過愛因斯坦的“廣義相對論”和霍金的《時間簡史》，也不要緊，衹要看過2015年諾蘭導演的《星際穿越》，你就對黎曼的“高維概念”有一個具體的、視像化的概念。

男主角庫珀為了拯救在地球上的女兒，依然駕駛着太空飛船穿越黑洞的奇點，進入第五維空間，並用引力波，與女兒進行超空間的對話。

01

說來慚愧，這個在今天看起來仍然非常超前的“高維概念”，其實是黎曼在1854年提出來的。

1854年，美國黑船纔剛剛進入江戶灣浦賀海面，當時的日本人看到帝國主義的堅船利炮還驚慌失措；1854年。也是曾國藩剛剛練好湘軍，誓師東徵，與石達開在湘江靖港短兵相接的一年，那一年他的兵船仍是木製帆船，湘軍另一首領鬍林翼本來對這些兵船很滿意，看到長江上輕快遊弋的蒸汽船，馬上吐血，幾乎身亡。

這一年，在地球的另一端，馬上就要發生的一件大事，它對人類的意義，遠遠超過了上面那兩個歷史教科書要我們背誦的重要節點。

1854年6月10日，瘦弱害羞的年輕博士黎曼登上德國格丁根大學的講臺，發表了他那篇特別短小精美的演講《論幾何基礎中的假說》，這是人類首次引入了“高維空間理論”。

一百多年後，著名的物理學家加來道雄稱贊這個演講時說：

這絶妙的一招，像是給一個黑暗而又充滿黴味的屋子裏送進了溫暖的夏日陽光，從而使屋子變得熠熠生輝。

02

黎曼，1826年生於德國漢諾威一個貧窮牧師的家庭，是六兄弟姐妹中的老二。

他的父親本來希望他學習神學，將來成為一位賺錢的牧師，但是黎曼展現出來的數學天賦，藏都藏不住。

中學的時候，老師已經驚奇地發現這位學生所掌握的數學知識是他一生都沒辦法追趕的了，於是校長就把學校圖書館裏那本最厚、積了最多灰的天書藉給他閱讀。

這本天書就是勒讓德的《數論》，859頁的鴻篇巨製，是當時最先進的數學理論著作，六日後，校長問這位沉默寡言的學生：

—“這本書你看了多少？”

—“看完了，理論挺奇妙的，但我已經完全掌握了它的內容。”

校長完全不敢相信自己的耳朵，於是他試着問他一些書中的難題，黎曼都給出了完美的回答。

校長馬上就找到了黎曼的父親，告訴他道：不要埋沒了這位小孩，他是天才，數學方面的天才，你一定要省吃儉用，將他送進大學，送到高斯身邊去。

有“數學王子”之稱的高斯，是人類歷史上最偉大的數學家之一，他當時是德國格丁根大學的教授。

正因為有了校長的鼓勵，這位被日常生活所睏的父親，纔咬着牙齒省錢，終於在黎曼19歲那年，湊夠錢，把他送到格丁根大學。

03

在黎曼之前，人類對數學和空間的理解都來自古希臘數學家歐幾裏得的一本與《聖經》齊名的著作——《幾何原本》（我們現在的中學教育所教的仍是歐氏幾何）。

這本幾千年前的數學著作，被譽為是現代數學的奠基之作，人類在此基礎上發展對天文與地理的認知，並且用它的理論，建成了數千座美輪美奐的教堂。

高斯質疑它的局限性，歐幾裏得認為，點在空間中沒有維度；綫有一維，即長度；平面有二維，即長和寬；立體有三維，即長、寬、高；除此以外，就什麽都沒有了，沒有什麽東西會有四維。

高斯認為歐幾裏得對維度的理解，完全建立在人類自身的直觀認知的基礎上，這種認知，放在無遠弗屆的數學世界裏，那是非常局限的。

他曾嚮同事說，歐氏幾何的假想，就像生活在二維平面上的“螞蟻”，它從它的世界裏衹看到了長和寬，於是就認為這個世界衹有“長”和“寬”，不會有“高”這個維度。

但是高斯是一個非常保守的人，當時西方的數學界猛烈地抨擊“高維概念”，認為它是比洪水猛獸更能動搖科學理性根基的“歪理邪說”，於是他就沒有公開發表任何關於高維幾何理論的作品。

第四維是自然界的怪物，它比獅首羊身或人頭馬身的怪物更不可能存在……長、寬、高占據了整個空間，鬼也不會想象出在三維以外還會有第四個維度。——數學家John Wallis，1685年

04

高斯遇到19歲的黎曼，覺得面前這位體弱多病的天才少年非常有希望推翻面前這座統領了人類2000多年的古典幾何大廈。

黎曼就這樣在高斯的指導下，開始了突破人類想象的高端學術之旅。

他開始慢慢發現，歐幾裏得幾何學是建立在二維、三維世界是一個平坦表面的基礎上，但是在自然界，我們很難看到理想化的歐氏幾何圖形，高川低𠔌、滄海桑田，都不是完美的幾何圖形。

在平坦的空間裏，三角形的內角和是180度，但如果空間不是平坦的，而是存在一定的麯率，那麽三角形的內角和就視乎它的麯率，大於或小於180度。

也就是說，如果我們所在空間是彎麯的話，那麽歐氏幾何的理論其實是錯誤的。

那麽我們人類直覺上感覺非常平坦的三維空間有沒有可能其實是彎麯的呢？

黎曼的想象突破了天際，他認為就算我們所在的空間本來就是不平坦的，但因“衹緣身在此山中”，我們的直覺仍會認為，我們的世界是完全平坦的。

這就好比高斯所說的二維平面上的螞蟻，即便把二維平面弄皺，螞蟻仍會認為它所在的平面是平坦的，因為它們的身體也將被弄皺，它們無從註意到它們的世界被扭麯了。

黎曼指出，衹有當這些螞蟻企圖從這個皺麯的平面上運動時，它們纔會感覺到自己被一股看不見的“力”所阻礙，每當它們跨過一道皺麯，它們的身體都會被推得左搖右晃。

05

黎曼能夠得出這樣驚世駭俗的結論，得益於他當時正在幫助另一位教授威廉·韋伯（對，就是我們在物理學上的單位“韋伯”的那個韋伯）做電學實驗的研究。

他沒日沒夜地泡在實驗室時發現，電和磁可以互換，它們可能都是來自同一種“力”的某種表現形式。

於是他聯想到我們自然界感受的很多“力”，是否就如二維螞蟻企圖在皺麯的平面上運動一樣，其實都是由於空間的“皺麯”所導致？他為自己的這種想法所興奮，覺得可以就此給出一個數學的解釋。

高斯知道他的最新研究後，讓他在格丁跟大學面嚮所有教員，做一個《幾何基礎》的口頭報告。

高斯的這個决定，幾乎要了黎曼半條命，他是一個極度害羞的人，害怕在公衆面前演講，而且長期以來的辛苦的教研工作，讓本來就體弱多病的他得了神經衰弱癥，這時候，再要在幾個月內，攻剋被譽為本世紀最睏難的數學難題，並發表演說，做得到嗎？

但他承受了下來，他知道他的導師是愛惜他，正在用盡全力，把他這位28歲的博士，推上數學世界的巔峰，於是接下來的幾個月，他用盡了自己的所有精力，撰寫出那篇震驚世界的《論幾何基礎中的假說》。

06

1854年6月10日，德國格丁跟大學的公開禮堂座無虛席，一位名叫黎曼的年輕博士在這裏發表他的第一篇學術公開演說。

在這次演說裏，他打破了統治歐洲兩千多年的歐幾裏得幾何學說，提出了“高維空間”的數學理論，古典世界的學術邊界被打破了，人類從此進入了新紀元。

數學界原來擔心“高維”概念的出現，會出現可怕的矛盾，使現代科學的根基動搖，但黎曼發現，引入高維概念後，所有的自然規律不單沒有矛盾，非常自洽之餘，表述還簡單了。

由此，他推斷，電力、磁力和引力，都是由我們三維看不見的皺褶所引起的，“力”本身並不存在，它衹是由幾何畸變引起的明顯結果，他於是着手研究表述這種思想的數學語言。

可惜，天妒英才，他還沒出這方面的研究成果，1866年，原本就體弱多病的他，感染了肺結核，這次他沒熬過去，在第三次去意大利途中去世，年僅39歲。

這個先鋒大膽的物理概念，要到半個世紀以後，另一位天才——愛因斯坦的出現，纔完成了精確的理論模型和計算，它就是至今仍然統領我們的宏觀世界一切物理規律的“廣義相對論”。

07

黎曼的公開演說發佈以來，高維空間的概念就開始進入主流的文學、藝術作品中，並影響至今：

1865年，黎曼關於空間皺褶的“切口”理論（就是日後連接不同時空的“蟲洞”概念），被數學家卡羅爾成功地運用到他的《愛麗絲漫遊仙境》的兔子洞中，愛麗絲掉進兔子洞時，就進入了與她日常世界完全顛倒的時空中；

1884年，倫敦公學校長阿博特寫了一部影響深遠的小說《平面國——正方形在多維中的傳奇故事》，小說的主人公是一位生活在二維平面國的正方形先生，在那裏，討論三維概念是不被允許的，但有一日，一位來自三維世界的球面勳爵訪問了他的世界，顛倒了他的三觀；

1891年，毒舌小王子王爾德寫了一個關於第四維鬧鬼的諷刺劇“坎特維爾的幽靈”，批評和諷刺當時英國“靈學協會”的“功績”；

1894年，英國著名文學評論傢寫了一部對文學界影響更深遠的作品《時間機器》，他第一次把時間看成是第四維，“顯然，任何一個真實的物體必定在四個方向上延伸：長、寬、高，以及——持續是時間；……除了空間的三維外，還有一個第四維，就是時間。”

這個也是愛因斯坦後來提出的“時空一體”概念的起源，時間是第四維，以後再表述高維空間，就是第五維了。

……

2015年，諾蘭導演的《星際穿越》第一次在大屏幕展現了高維空間的樣子，男主角庫珀穿越了黑洞的奇點，進入了第五維空間，並用引力波與女兒進行超空間的對話。

08

我不開心的時候，就會讀些科普作品，開闊胸襟，去感受愚蠢的人類，其實也蠻偉大的。

一隻螞蟻永遠都不能理解二維以外的世界，人類在宇宙中，比螞蟻還渺小，卻能用心智，把這個宇宙，從方寸到寰宇，從誕生到毀滅，都理解得那麽透徹，推算得那麽清楚。

萬維剛解讀《給忙碌者的天體物理學》時，寫道，泰森為何會想給普通人寫一本普及式的天體物理學讀本？

因為他覺得就算是普通人，也應該瞭解一點天體物理學的知識，這樣可以讓我們擁有“宇宙學”的視角，多一種視角，就等於多一種自由度；

宇宙非常大，無論我們怎麽想象，都比我們想象的大得多，我們不是地球的中心，地球不是太陽係的中心，太陽係也不是宇宙的中心，我們要學會謙卑；

同樣的，無論宇宙多大，我們每一個人其實都是有關聯的，我們應該更加親切和富有同情心的去對待身邊的每一個人，同時更加珍惜地球，這個我們目前已知的唯一的傢。

這是一張著名的照片。1990年，旅行者1號探測器即將飛出太陽係的時候，在距離地球60億公裏的地方，美國國傢航空航天局命令它回頭再看一眼，拍攝了60張照片。照片上的光帶是相機鏡頭反射的太陽光。其中的這一張上正好包括了地球 —— 就是圖中那個亮點。

泰森的老師，天體物理學家、也是著名的科學作傢卡爾·薩根，看了這張照片非常感慨，他在1996年的一個頒發學位典禮上就此說過一段非常著名的話：

我們成功地（從外太空）拍到這張照片，細心再看，你會看見一個小點。就是這裏，就是我們的傢，就是我們。

在這個小點上，每個你愛的人、每個你認識的人、每個你曾經聽過的人，以及每個曾經存在的人，都在那裏過完一生。

這裏集合了一切的歡喜與苦難，數千個自信的宗教、意識形態以及經濟學說，每個獵人和搜尋者、每個英雄和懦夫、每個文明的創造者與毀滅者、每個國王與農夫、每對相戀中的年輕愛侶、每個充滿希望的孩子、每對父母、發明傢和探險傢，每個教授道德的老師、每個貪污政客、每個超級巨星、每個至高無上的領袖、每個人類歷史上的聖人與罪人，都住在這裏 —— 一粒懸浮在陽光下的微塵。

地球是這個浩瀚宇宙劇院裏的一個小小舞臺。

想想從那些將領和帝王們揮灑出的血河，他們的光榮與勝利衹為了讓他們成為了這一點上一小部分的短暫主宰。

想想棲身在這點上一個角落的人正受着萬般苦楚，而在幾乎不能區分的同一點上的另外一個角落裏亦同時棲身了另一批人。

他們有多常發生誤解？他們有多渴望殺了對方？他們的敵意有多強烈？

我們的裝模作樣，我們的自以為是，我們的錯覺以為自己在宇宙裏的位置有多優越，都被這暗淡的光點所挑戰。

我們的星球衹是在這被漆黑包裹的宇宙裏一粒孤單的微粒而已。我們是如此的不起眼——在這浩瀚之中，我們不會從任何地方得到提示去拯救我們自身。