黎曼：我们为什么看不见高维空间？丨第四维

晴耕雨读I抱朴守拙 2018-11-05

引言

最近中文社交网络被英国大数学家声称自己证实了“黎曼猜想”刷屏，虽然最后发现其实并没有证明，但是“黎曼猜想”还是狠狠地热了一把。

我不是理科生，对“黎曼猜想”讲不出所以然，但是黎曼这个人，我还是知道的，因为他对现代的物理、科学、文学甚至艺术，都影响太深远了。

他创造了一种新的看待世界的方式——“高维概念”，爱因斯坦的相对论就是在黎曼几何的基础上发展出来的。

如果大家说自己读得书少，没有读过爱因斯坦的“广义相对论”和霍金的《时间简史》，也不要紧，只要看过2015年诺兰导演的《星际穿越》，你就对黎曼的“高维概念”有一个具体的、视像化的概念。

男主角库珀为了拯救在地球上的女儿，依然驾驶着太空飞船穿越黑洞的奇点，进入第五维空间，并用引力波，与女儿进行超空间的对话。

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说来惭愧，这个在今天看起来仍然非常超前的“高维概念”，其实是黎曼在1854年提出来的。

1854年，美国黑船才刚刚进入江户湾浦贺海面，当时的日本人看到帝国主义的坚船利炮还惊慌失措；1854年。也是曾国藩刚刚练好湘军，誓师东征，与石达开在湘江靖港短兵相接的一年，那一年他的兵船仍是木制帆船，湘军另一首领胡林翼本来对这些兵船很满意，看到长江上轻快游弋的蒸汽船，马上吐血，几乎身亡。

这一年，在地球的另一端，马上就要发生的一件大事，它对人类的意义，远远超过了上面那两个历史教科书要我们背诵的重要节点。

1854年6月10日，瘦弱害羞的年轻博士黎曼登上德国格丁根大学的讲台，发表了他那篇特别短小精美的演讲《论几何基础中的假说》，这是人类首次引入了“高维空间理论”。

一百多年后，著名的物理学家加来道雄称赞这个演讲时说：

这绝妙的一招，像是给一个黑暗而又充满霉味的屋子里送进了温暖的夏日阳光，从而使屋子变得熠熠生辉。

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黎曼，1826年生于德国汉诺威一个贫穷牧师的家庭，是六兄弟姐妹中的老二。

他的父亲本来希望他学习神学，将来成为一位赚钱的牧师，但是黎曼展现出来的数学天赋，藏都藏不住。

中学的时候，老师已经惊奇地发现这位学生所掌握的数学知识是他一生都没办法追赶的了，于是校长就把学校图书馆里那本最厚、积了最多灰的天书借给他阅读。

这本天书就是勒让德的《数论》，859页的鸿篇巨制，是当时最先进的数学理论著作，六日后，校长问这位沉默寡言的学生：

—“这本书你看了多少？”

—“看完了，理论挺奇妙的，但我已经完全掌握了它的内容。”

校长完全不敢相信自己的耳朵，于是他试着问他一些书中的难题，黎曼都给出了完美的回答。

校长马上就找到了黎曼的父亲，告诉他道：不要埋没了这位小孩，他是天才，数学方面的天才，你一定要省吃俭用，将他送进大学，送到高斯身边去。

有“数学王子”之称的高斯，是人类历史上最伟大的数学家之一，他当时是德国格丁根大学的教授。

正因为有了校长的鼓励，这位被日常生活所困的父亲，才咬着牙齿省钱，终于在黎曼19岁那年，凑够钱，把他送到格丁根大学。

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在黎曼之前，人类对数学和空间的理解都来自古希腊数学家欧几里得的一本与《圣经》齐名的著作——《几何原本》（我们现在的中学教育所教的仍是欧氏几何）。

这本几千年前的数学著作，被誉为是现代数学的奠基之作，人类在此基础上发展对天文与地理的认知，并且用它的理论，建成了数千座美轮美奂的教堂。

高斯质疑它的局限性，欧几里得认为，点在空间中没有维度；线有一维，即长度；平面有二维，即长和宽；立体有三维，即长、宽、高；除此以外，就什么都没有了，没有什么东西会有四维。

高斯认为欧几里得对维度的理解，完全建立在人类自身的直观认知的基础上，这种认知，放在无远弗届的数学世界里，那是非常局限的。

他曾向同事说，欧氏几何的假想，就像生活在二维平面上的“蚂蚁”，它从它的世界里只看到了长和宽，于是就认为这个世界只有“长”和“宽”，不会有“高”这个维度。

但是高斯是一个非常保守的人，当时西方的数学界猛烈地抨击“高维概念”，认为它是比洪水猛兽更能动摇科学理性根基的“歪理邪说”，于是他就没有公开发表任何关于高维几何理论的作品。

第四维是自然界的怪物，它比狮首羊身或人头马身的怪物更不可能存在……长、宽、高占据了整个空间，鬼也不会想象出在三维以外还会有第四个维度。——数学家John Wallis，1685年

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高斯遇到19岁的黎曼，觉得面前这位体弱多病的天才少年非常有希望推翻面前这座统领了人类2000多年的古典几何大厦。

黎曼就这样在高斯的指导下，开始了突破人类想象的高端学术之旅。

他开始慢慢发现，欧几里得几何学是建立在二维、三维世界是一个平坦表面的基础上，但是在自然界，我们很难看到理想化的欧氏几何图形，高川低谷、沧海桑田，都不是完美的几何图形。

在平坦的空间里，三角形的内角和是180度，但如果空间不是平坦的，而是存在一定的曲率，那么三角形的内角和就视乎它的曲率，大于或小于180度。

也就是说，如果我们所在空间是弯曲的话，那么欧氏几何的理论其实是错误的。

那么我们人类直觉上感觉非常平坦的三维空间有没有可能其实是弯曲的呢？

黎曼的想象突破了天际，他认为就算我们所在的空间本来就是不平坦的，但因“只缘身在此山中”，我们的直觉仍会认为，我们的世界是完全平坦的。

这就好比高斯所说的二维平面上的蚂蚁，即便把二维平面弄皱，蚂蚁仍会认为它所在的平面是平坦的，因为它们的身体也将被弄皱，它们无从注意到它们的世界被扭曲了。

黎曼指出，只有当这些蚂蚁企图从这个皱曲的平面上运动时，它们才会感觉到自己被一股看不见的“力”所阻碍，每当它们跨过一道皱曲，它们的身体都会被推得左摇右晃。

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黎曼能够得出这样惊世骇俗的结论，得益于他当时正在帮助另一位教授威廉·韦伯（对，就是我们在物理学上的单位“韦伯”的那个韦伯）做电学实验的研究。

他没日没夜地泡在实验室时发现，电和磁可以互换，它们可能都是来自同一种“力”的某种表现形式。

于是他联想到我们自然界感受的很多“力”，是否就如二维蚂蚁企图在皱曲的平面上运动一样，其实都是由于空间的“皱曲”所导致？他为自己的这种想法所兴奋，觉得可以就此给出一个数学的解释。

高斯知道他的最新研究后，让他在格丁跟大学面向所有教员，做一个《几何基础》的口头报告。

高斯的这个决定，几乎要了黎曼半条命，他是一个极度害羞的人，害怕在公众面前演讲，而且长期以来的辛苦的教研工作，让本来就体弱多病的他得了神经衰弱症，这时候，再要在几个月内，攻克被誉为本世纪最困难的数学难题，并发表演说，做得到吗？

但他承受了下来，他知道他的导师是爱惜他，正在用尽全力，把他这位28岁的博士，推上数学世界的巅峰，于是接下来的几个月，他用尽了自己的所有精力，撰写出那篇震惊世界的《论几何基础中的假说》。

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1854年6月10日，德国格丁跟大学的公开礼堂座无虚席，一位名叫黎曼的年轻博士在这里发表他的第一篇学术公开演说。

在这次演说里，他打破了统治欧洲两千多年的欧几里得几何学说，提出了“高维空间”的数学理论，古典世界的学术边界被打破了，人类从此进入了新纪元。

数学界原来担心“高维”概念的出现，会出现可怕的矛盾，使现代科学的根基动摇，但黎曼发现，引入高维概念后，所有的自然规律不单没有矛盾，非常自洽之余，表述还简单了。

由此，他推断，电力、磁力和引力，都是由我们三维看不见的皱褶所引起的，“力”本身并不存在，它只是由几何畸变引起的明显结果，他于是着手研究表述这种思想的数学语言。

可惜，天妒英才，他还没出这方面的研究成果，1866年，原本就体弱多病的他，感染了肺结核，这次他没熬过去，在第三次去意大利途中去世，年仅39岁。

这个先锋大胆的物理概念，要到半个世纪以后，另一位天才——爱因斯坦的出现，才完成了精确的理论模型和计算，它就是至今仍然统领我们的宏观世界一切物理规律的“广义相对论”。

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黎曼的公开演说发布以来，高维空间的概念就开始进入主流的文学、艺术作品中，并影响至今：

1865年，黎曼关于空间皱褶的“切口”理论（就是日后连接不同时空的“虫洞”概念），被数学家卡罗尔成功地运用到他的《爱丽丝漫游仙境》的兔子洞中，爱丽丝掉进兔子洞时，就进入了与她日常世界完全颠倒的时空中；

1884年，伦敦公学校长阿博特写了一部影响深远的小说《平面国——正方形在多维中的传奇故事》，小说的主人公是一位生活在二维平面国的正方形先生，在那里，讨论三维概念是不被允许的，但有一日，一位来自三维世界的球面勋爵访问了他的世界，颠倒了他的三观；

1891年，毒舌小王子王尔德写了一个关于第四维闹鬼的讽刺剧“坎特维尔的幽灵”，批评和讽刺当时英国“灵学协会”的“功绩”；

1894年，英国著名文学评论家写了一部对文学界影响更深远的作品《时间机器》，他第一次把时间看成是第四维，“显然，任何一个真实的物体必定在四个方向上延伸：长、宽、高，以及——持续是时间；……除了空间的三维外，还有一个第四维，就是时间。”

这个也是爱因斯坦后来提出的“时空一体”概念的起源，时间是第四维，以后再表述高维空间，就是第五维了。

……

2015年，诺兰导演的《星际穿越》第一次在大屏幕展现了高维空间的样子，男主角库珀穿越了黑洞的奇点，进入了第五维空间，并用引力波与女儿进行超空间的对话。

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我不开心的时候，就会读些科普作品，开阔胸襟，去感受愚蠢的人类，其实也蛮伟大的。

一只蚂蚁永远都不能理解二维以外的世界，人类在宇宙中，比蚂蚁还渺小，却能用心智，把这个宇宙，从方寸到寰宇，从诞生到毁灭，都理解得那么透彻，推算得那么清楚。

万维刚解读《给忙碌者的天体物理学》时，写道，泰森为何会想给普通人写一本普及式的天体物理学读本？

因为他觉得就算是普通人，也应该了解一点天体物理学的知识，这样可以让我们拥有“宇宙学”的视角，多一种视角，就等于多一种自由度；

宇宙非常大，无论我们怎么想象，都比我们想象的大得多，我们不是地球的中心，地球不是太阳系的中心，太阳系也不是宇宙的中心，我们要学会谦卑；

同样的，无论宇宙多大，我们每一个人其实都是有关联的，我们应该更加亲切和富有同情心的去对待身边的每一个人，同时更加珍惜地球，这个我们目前已知的唯一的家。

这是一张著名的照片。1990年，旅行者1号探测器即将飞出太阳系的时候，在距离地球60亿公里的地方，美国国家航空航天局命令它回头再看一眼，拍摄了60张照片。照片上的光带是相机镜头反射的太阳光。其中的这一张上正好包括了地球 —— 就是图中那个亮点。

泰森的老师，天体物理学家、也是著名的科学作家卡尔·萨根，看了这张照片非常感慨，他在1996年的一个颁发学位典礼上就此说过一段非常著名的话：

我们成功地（从外太空）拍到这张照片，细心再看，你会看见一个小点。就是这里，就是我们的家，就是我们。

在这个小点上，每个你爱的人、每个你认识的人、每个你曾经听过的人，以及每个曾经存在的人，都在那里过完一生。

这里集合了一切的欢喜与苦难，数千个自信的宗教、意识形态以及经济学说，每个猎人和搜寻者、每个英雄和懦夫、每个文明的创造者与毁灭者、每个国王与农夫、每对相恋中的年轻爱侣、每个充满希望的孩子、每对父母、发明家和探险家，每个教授道德的老师、每个贪污政客、每个超级巨星、每个至高无上的领袖、每个人类历史上的圣人与罪人，都住在这里 —— 一粒悬浮在阳光下的微尘。

地球是这个浩瀚宇宙剧院里的一个小小舞台。

想想从那些将领和帝王们挥洒出的血河，他们的光荣与胜利只为了让他们成为了这一点上一小部分的短暂主宰。

想想栖身在这点上一个角落的人正受着万般苦楚，而在几乎不能区分的同一点上的另外一个角落里亦同时栖身了另一批人。

他们有多常发生误解？他们有多渴望杀了对方？他们的敌意有多强烈？

我们的装模作样，我们的自以为是，我们的错觉以为自己在宇宙里的位置有多优越，都被这暗淡的光点所挑战。

我们的星球只是在这被漆黑包裹的宇宙里一粒孤单的微粒而已。我们是如此的不起眼——在这浩瀚之中，我们不会从任何地方得到提示去拯救我们自身。